Wiskunde 123

Zoeken


ABC-formule

Moeilijkheidsgraaad: Voortgezet onderwijs: bovenbouw

Als je wilt weten bij welke waarde een functie precies 0 is, moet je eerst het functievoorschrift van de formule hebben. Stel dat we over het onderstaande functievoorschrift beschikken, wat is dan het punt waarin de X-as van een assenstelsel wordt doorsneden?

$$f(x) = 4x^2 + 2x + 1$$

Als je de bovenstaande functie in een grafiek tekent zul je ontdekken dat er twee punten zijn waarbij de functie door de x-as heen gaat. Precies op deze punten is de uitkomst van de functie 0. Om te berekenen welke punten dit zijn gebruiken we de volgende functie:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Dit is de ABC-formule. Het bewijs van deze formule is te vinden in het artikel Bewijs van de ABC-formule. We gaan deze formule nu toepassen door a, b en c uit de functie te definiëren. Welke getallen a, b en c zijn, kan je zien als de volgende functies onder elkaar zet:

$$f(x) = 4 x^2 + 2 x + 1$$

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Uit dit voorbeeld volgt nu: $a = 4$, $b = 2$ en $c = -1$ (vergeet het - teken niet!)

Nu is het nog een kwestie van invullen en oplossen:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4*4*(-1)}}{2*4} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8}$$

$$x = \frac{-2 + \sqrt{20}}{8} \vee x = \frac{-2 - \sqrt{20}}{8}$$

$$x \approx 0,31 \vee x \approx -0,81$$

De laatste stap van de bovenstaande oplossing is met een rekenmachine uitgerekend, een andere manier is handmatig worteltrekken, maar een exacte uitkomst zonder wortel zal je nooit krijgen.

Discriminant (D)

Een andere manier om de ABC-formule te noteren is met het ontbinden van de Discriminant. Dit levert de volgende formule op:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, D = b^2 - 4ac$$

Het handige aan de discriminant D is dat je meteen kunt zien hoeveel snijpunten de functie heeft. Dit kun je uit de volgende gegevens afleiden:

D < 0 Er zijn geen snijpunten met de x-as..

D = 0 Er is precies 1 snijpunt met de x-as (de top van de grafiek raakt de x-as).

D > 0 Er zijn 2 snijpunten met de x-as.

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.

Oefenopgaven

Opgave

Los de volgende functies op. Kies zelf welke manier het handigst is: gebruik de abc-formule of ontbindt in factoren.

a. 5x2+16x-11=0

b. x2+2x-3=0

c. -x2+2x-11=0

d. x2-3=0

Bekijk antwoord