Wiskunde 123

Zoeken


Regel van Euler

Moeilijkheidsgraaad:

Enkele bewijzen voor de regel van Euler

De regel van Euler: aantal wegen (E) = aantal plaatsen (V) + aantal gebieden (F) - 2. Dit word vaak geschreven als : V-E+F=2

Een aantal bewijzen dat deze formule klopt:

Bewijs 1:

Stel dat de graaf één gebied heeft, dan is het een boom. En als het een boom is is de formule voor het aantal wegen n-1 (aantal punten -1). Oftewel E=V-1. De formule word dan:

V-E+F=V-(V-1)+1=V-V+1+1=2 Voor bomen klopt de formule dus.

Bewijs 2:

Als er maar één punt is, is elke weg een weg die terug gaat naar dat ene punt, waardoor er een gebied bijkomt. Dat houd in dat er 1 gebied meer is dan er wegen zijn, dus F=E+1.

V-E+F=1-E+(E+1)=1-E+E+1=2

Bewijs 3:

Stel dat je een graaf hebt met een punt, dan geld : V-E+F=1-0+1=2. Voeg je een punt toe, dan moet er een weg bij komen en voeg je een weg toe, dan moet er een punt bij komen. Met twee punten en één weg krijg je dus: V-E+F=2-1+1=2. Met drie punten en twee wegen is de formule als volgt: <i>V-E+F=3-2+1=2</i> Voeg je nu een weg toe zonder een punt toe te voegen krijg je: <i>V-E+F=3-3+2=2</i> Wat je ook doet, er komen altijd wegen bij en als er een weg bij komt moet er ook een gebied óf een punt bijkomen waardoor de formule altijd V-E+F=2 is.

Maar de regel van Euler klopt niet bij alle netwerken. In 2 gevallen klopt de regel niet, namelijk:

- Bij netwerken waar wegen elkaar kruisen buiten de punten door, klopt de formule niet. De formule die dan ontstaat is 4-3+2=3, en dat klopt niet met de regel van Euler.

- Bij netwerken waar niet alle punten zijn verbonden. De formule die hierbij ontstaat is 4-2+1=3, en klopt dus ook niet.

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.