Wiskunde 123

Zoeken


Partiƫel integreren

Moeilijkheidsgraaad: Hogeschool en universitair

Om te differentiëren kunnen we gebruik maken van de productregel. Gegeven twee functies $f$ en $g$ luidt de productregel als volgt:

$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$

Deze vergelijking kunnen we echter ook weer integreren. Door te gebruiken dat $\int (f + g) = \int f + \int g$ vinden we:

$$f \cdot g = \int (f' \cdot g) + \int (f \cdot g')$$

We kunnen dit ook schrijven als:

$$\int (f' \cdot g) = f \cdot g - \int (f \cdot g')$$

Tot slot vervangen we de functie $f$ door zijn integraal $F$. Dit levert:

$$\int (f \cdot g) = F \cdot g - \int (F \cdot g')$$

Met dit resultaat kunnen we elk product van functies $f$ en $g$ integreren. Dit wordt partiële integratie genoemd.

Voorbeeld:

Integreer de functie $h(x) = xe^x$.

Oplossing:

Definieer $f(x) = e^x$ en $g(x) = x$. Met partiële integratie vinden we:

$$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = (x - 1)e^x$$

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.