Wiskunde 123

Zoeken


Primitiveren

Moeilijkheidsgraaad:

Voordat je aan dit artikel begint dien je in ieder geval te snappen hoe differentiëren werkt

Primitiveren is eigenlijk het omgekeerde van differentiëren. In plaats van een "normale" grafiek heb je nu de afgeleide van de grafiek.

Om nu terug te komen naar de "normale" grafiek moet je de formule van de helling primitiveren. Als voorbeeld gebruiken we bij de uitleg 2 eenvoudige formules:

f(x) = 2x geeft f'(x) = 2 en g(x) = 3x2 + 6 geeft g'(x) = 6x

Bij het differentiëren heb je, zoals je weet, gebruikt gemaakt van de volgende formule:

f(x) = axn geeft f'(x) = anx(n-1)

In de hellingsgrafiek staan nu variabelen (de getallen die we als "a" en "n" hebben geschreven) waar er 1 vanaf is getrokken. Omdat we bij het primitiveren juist moeten beginnen met de variabele n en niet n-1 schrijven we de formule nog een keer op, maar met 1 opgeteld bij alle variabelen n. Nu krijg je:

f(x) = axn+1 geeft f'(x) = anxn

Er zit nu echter nog één rare notatie in de formule. In de hellingsformule zie je nu anx staan, wat erop neerkomt dat de getallen "a" en "n" met elkaar worden vermenigvuldigd. Met de "n" wordt echter de macht bedoelt, dus deze moet verdwijnen voor de "x". Om dit voor elkaar te krijgen moet je alletwee formules delen door "n". Je zou denken dat je dan het volgende krijgt:

f(x) = (a/n)xn+1 geeft f'(x) = axn

Hier klopt iets niet! De "n" in de tweede formule is namelijk niet hetzelfde als de "n" in de eerste formule. Omdat je bij het differentiëren altijd 1 van de macht "n" afhaalt, moet er bij de eerste formule nog één bij de macht "n" worden opgeteld. Als formule voor het differentiëren krijg je dan:

f(x) = (a/(n+1))xn+1 geeft f'(x) = axn

Nu moeten we de formule nog omdraaien, want de primitieve functie (= de uitkomst) staat nu voor de functie die je moest primitiveren.

De notatie van een functie die je primitiveert is wel wat vreemd. De functie wordt geschreven als een ombepaalde integraal. Dit noteer je door te beginnen met het integraalteken ? zonder een interval erbij (vandaar onbepaald), vervolgens de functie die je moet primitiveren erachter tussen haakjes, en dan afsluiten met "dx". De notatie "dx" komt op hetzelfde neer als "?x", maar "dx" betekent dat het over hele kleine intervallen gaat.

Als voorbeeld primitiveren we als eerste de functie f(x) = 2. Je krijgt nu:

?(2)dx = 2x

We zijn echter nog één ding vergeten. Van de primitieve functie is de hoogte onbekend. Het zou de formule 2x kunnen zijn zoals in het voorbeeld, maar het kan net zo goed "2x + 2" zijn. Dit weet je bij primitiveren niet. Daarom zet je achter de primitieve functie altijd een constante "C". Dit noemt men de integratieconstante. We primitiveren nu de twee voorbeelden (f(x) = 2 en g(x) = 6x) op de goede manier:

∫(2)dx = 2x + C

∫(6x)dx = 3x2 + C

Als algemene formule geldt dus:

∫(axn)dx = (a/(n+1))xn+1 + C

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.