Wiskunde 123

Zoeken


X- en Y-top

Moeilijkheidsgraaad: Voortgezet onderwijs: bovenbouw

De coördinaten van een parabool kan je het makkelijkste aflezen bij een functie in de volgende vorm:

$$f(x) \rightarrow a(x-p)^2+q$$

Bij deze formule kan je de coördinaten van de top als volgt aflezen: $(p,q)$ (de $p$ staat voor x-top en de $q$ staat voor y-top). Helaas worden functies meestal niet in die vorm gegeven, maar in de volgende vorm:

$$f(x) \rightarrow ax^2 + bx + c$$

Om de formule om te zetten van de gegeven vorm naar de bovenstaande vorm, moet het kwadraat worden afgesplitst. Een uitleg over de werking van kwadraat afsplitsen kan gevonden worden bij deze link naar Wisfaq.

De X- en Y-top kun je bij een functie van het type $f(x) \rightarrow ax^2 + bx + c$ echter ook direct berekenen. Dit kan met behulp van de volgende formule voor de X-top:

$$X_{top} = \frac{-b}{2a}$$

Een bewijsje voor deze formule:

Eerst neem je $ax^2 + bx = 0$ (De $c$-term doet er niet toe bij de X-as, deze verandert alleen de Y-as!). Vervolgens ontbind je deze in factoren, namelijk $x(ax + b) = 0$. Hieruit blijkt dat $x = 0$ of $ax + b = 0$, zodat $x = \frac{-b}{a}$ wordt. Dit zijn de twee snijpunten van de grafiek met de x-as.

We willen echter de X-top weten. Daarom nemen we het gemiddelde van de twee snijpunten (de top van een parabool ligt precies tussen de twee snijpunten op de X-as in). Nu volgt $(0 + \frac{-b}{a})/2 = (\frac{-b}{a})/2 = \frac{-b}{2a}$. Als je $a$ en $b$ nu invult, krijg je de X-top. Dit is een snellere manier dan het kwadraat afsplitsen.

De Y-top vinden we nu heel gemakkelijk: Vul in de formule de waarde van $X_{top}$ voor $x$. Vervolgens zet je de X- en Y-top op de juiste plek in het coördinaat, en je bent klaar!

Tot slot een voorbeeld:

Je hebt de formule $f(x) \rightarrow x^2 - 2x - 3$. Bereken de coördinaten van de top.

Oplossing:

We gebruiken de formule $X_{top} = \frac{-b}{2a}$, zodat $X_{top} = \frac{--2}{2 \cdot 1} = 1$.

Om vervolgens Y-top uit te rekenen vul je de waarde van $X_{top}$ in de formule in, je krijgt vervolgens nu als antwoord:

$Y_{top} = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4$

Tot slot zet je de twee antwoorden in de coördinaten, het antwoord is nu $(1,-4)$.

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.