Wiskunde 123

Zoeken


Reacties op het artikel ABC-formule bewijs

Koen 30 juni 2009

Beste wiskundigen;

Het bewijs voor deze formule is niet bepaald logisch in elkaar gezet; er worden namelijk 'trucjes' toegepast die op het begin absoluut onnodig lijken. Voorbeelden zijn: op het begin vermenigvuldigen met 4a, toevoegen van het kwadraat van b.

Een mooier (en vollediger) bewijs: Gebruikt wordt:

- voor alle p en q geldt:(p+q)2 = (p+q)(p+q) = p2 + 2pq + q2 (moge dat duidelijk zijn)

- als p2 = q dan p = q of p = -q

Te bewijzen:

Laten a,b,c (vaste en reële) getallen zijn, dan:

Als ax2 + bx + c = 0, dan $x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ of $x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ waarbij D = b2 - 4ac.

Bewijs:

Zij ax2 + bx + c = 0 deel nu alles door a.

x2 + (b/a)x + c/a = 0 Nu proberen we deze formule te reduceren tot:

(x+q)2 + p = x2 + 2qx + q2 + p = 0 = x2 + (b/a)x + c/a

hieruit volgt direct dat 2q = b/a en dat q = b/(2a)

de vergelijking wordt dan:

(x+b/(2a))2 + p = x2 + (b/a)x + b2 /(4a2 ) + p waarbij direct duidelijk wordt dat p = c/a - b2 /(4a2 )

dus we kunnen de vergelijking herschrijven als: (x+b/(2a))2 + c/a - b2 /(4a2 ) = 0 ('werk' de haakjes weg voor controle)

dan volgt alleen nog maar: x + b/(2a) = plusminus �? ( b2 /(4a2 ) - c/a) waarbij x = -b/(2a) plusminus �? ( b2 /(4a2 ) - c/a)

wat te vereenvoudigen is als (b plusminus ? ( b2 - 4ac))/(2a)

QED

Loek 8 oktober 2009

Vergeet je bij die extra opdrachten onderdeel a) niet dat x ook 0 kan zijn ;) en dat je dan dus niet door x mag delen (en dat x=0 altijd een oplossing van die vergelijking is).

Richard 29 oktober 2009

Hier heb je gelijk in Loek. We zullen dit aanpassen. Excuses voor de slordige fout.

Klaas 14 mei 2010

Ik doe mijn wiskunde po over de abc formule en ik vroeg me af of je me zou kunnen uitleggen waarom je in het begin met 4a vermenigvuldigt? Want ik kan geen reden bedenken waarom je dat zou moeten doen! Bij voorbaad dank! Groetjes Klaas

Plaats een reactie