Wiskunde 123

Zoeken


Opties

  • Printvriendelijke versie afdrukken
  • Per e-mail verzenden

Poissonverdeling (en geometrische verdeling)

Hallo Wij zitten met een klein wiskundeprobleem, we komen niet uit de volgende opgave:

In een bepaalde streek vallen per maand door verlies of diefstal 700 pinpasje in handen van kwaadwillende personen. een onbevoegd iemand kan op dezelfde dag tot drie keer toe een pincode proberen, bij de derde foutieve poging wordt het pasje door het pinapparaat ingeslikt. Wat is de kans dat in een gegeven maand de bankrekening geplunderd wordt van 1 of meerdere personen wiens pinpasjes in handen van kwaadwillende personen gevallen zijn? Bij de beantwoording van deze vraag veronderstel je dat elke kwaadwillende tot drie keer toe een pincode probeert alvorens diezelfde dag het pasje door de bank wordt geblokkeerd.

Zouden jullie ons kunnen helpen, we hebben moeite met de poissonverdeling.

Antwoord

Richard Both 17 april 2009

In deze vraag hebben we te maken met twee verdelingen.

De kans dat een pasje gekraakt wordt is geometrisch verdeeld. De kraakkans per poging is 1/9999 (aantal mogelijke pincodes). Uit de verdelingsfunctie van de geometrische verdeling volgt dat de kans dat de pas gekraakt wordt is:

p = 1 - (9998/9999)^3

(Uitleg: 1 - p^x. Hierbij is p de kans op geen succes en x het aantal pogingen)

We willen de kans weten dat 1 of meer van de 700 pasjes worden gekraakt. Omdat de kans p hetzelfde blijft voor elke pas hebben we te maken met een binomiale verdeling. Deze kunnen we zoals je aangeeft benaderen met een Poissonverdeling. Als parameter hebben we dan de griekse letter mu. Dit is bij deze benadering gelijk aan n*p (in dit geval hebben we n = 700 en p als boven). We kunnen nu met de rekenmachine of uit kanstabellen aflezen hoe groot de kans is dat er daadwerkelijk 1 of meerdere passen worden gekraakt.

Reacties

lucb1e 4 november 2011

Ik vind persoonlijk het volgende veel logischer (ik heb het probleem ook eerst zelf geprobeerd op te lossen, en ik kwam op afrondingsfouten na op dezelfde uitkomst als die uit het antwoord): pogingen / mogelijkheden. Het aantal pogingen die de dieven kunnen doen is 3x per pasje, dus met 700 pasjes zijn dat 2100 pogingen. Het aantal pogingen is 10000 (volgensmij niet 9999 aangezien 0000 ook mogelijk is*) dus dat resulteert in 2100/10000 ofwel 0,21.

Op de manier van Richard Both is het 1 - (9999 / 10000) ^ 3 * 700 ? 0,21

Ik weet niet wat de term 'poissonverdeling' betekent, maar van wat ik op Wikipedia lees is het een andere methode als die in het antwoord op deze vraag staat.

*Hoeveel pincodes er daadwerkelijk mogelijk zijn weet ik niet. Ik kan me ergens zo voorstellen dat 0000 niet gebruikt wordt omdat het te makkelijk af te kijken is, maar dan zou je eigenlijk ook 1111, 2222, enz. niet moeten gebruiken. Ook kan ik me ergens indenken dat ze codes als '1234', '2345', enz. blokkeren. Wat banken dus echt doen weet ik niet, maar we kunnen denk ik voor het gemak van de pincodes 0000 tot en met 9999 uitgaan, wat 10000 mogelijkheden zijn.

Plaats een reactie