Wiskunde 123

Zoeken


Opties

  • Printvriendelijke versie afdrukken
  • Per e-mail verzenden

Wat is de verwachtingswaarde en hoe bereken je deze?

Moderne Wiskunde, hoofdstuk 2, vraag 1

In deze paragraaf wordt als bekend verondersteld wat de verwachtingswarade precies inhoud. Aangezien ik eerder een andere methode heb gehad ben ik dit nooit tegengekomen. Wat is de verwachtingswaarde precies?

Antwoord

Richard Both 28 maart 2007

De verwachtingswaarde is de gemiddelde verwachte uitkomst van iets waarvan de uitkomst onbekend is.

Stel je neemt een dobbelsteen. De verwachtingswaarde hiervan is 3,5. Dit kan berekend worden met de volgende berekening:

(1/6 * 1) + (1/6 * 2) + (1/6 * 3) + (1/6 * 4) + (1/6 * 5) + (1/6 * 6) = 3,5

We nemen steeds 1/6, want de kans op elke uitkomst is even groot. Aangezien er 6 mogelijkheden zijn is de kans dus gelijk aan 1/6.

Reacties

GvdBerg 22 september 2008

De berekening van deze verwachtingswaarde lijkt me onjuist omdat elk van de 6 uitkomsten 1 tm 6 dezelfde kans heeft om uit te komen na 1x rollen van een dobbelsteen. Waar ik mee zit is: wat is de kans op bijvoorbeeld een zes na twee keer rollen, en na drie of meer keren rollen van de dobbelsteen. Zelf denk ik: na 1 keer 1/6e; na 2 keer gemiddeld 2/6e kans; na 6 keer gemiddeld 6/6e kans, maar geen 100% zekerheid.

Richard Both 27 november 2008

Beste G. van der Berg,

De verwachtingswaarde geeft een \'gemiddelde waarde\' aan die deze dobbelsteen gemiddeld zal aannemen over een groot aantal worpen. De kansen die jij aangeeft geven inderdaad geen 100% zekerheid, maar dit heeft te maken met een ander onderwerp en staat los van de verwachtingswaarde.

Sam 10 december 2008

De kansen die Gvdberg geeft kloppen overigens sowieso niet. De kans benader je bij bijvoorbeeld twee maal gooien als volgt:

Met tweemaal gooien zijn er in totaal (6^2 = 36)* mogelijke volgordes. Daarvan bestaan er (1+1+1+1+1+6 = 11)* volgordes waarin minstens een zes voorkomt. Er is dan 11/36 kans om een zes te gooien in twee worpen die na elkaar worden gegooid; P(minstens een zes) = 1 - P(geen zes) = 1 - (5^2)/36 = 1 - 25/36 = 11/36.

*Dit is eenvoudig aan te tonen met een kansendiagram:

1 2 ...

1 > 1,2,3,4,5,6

2 > 1,2,3,4,5,6

3 > 1,2,3,4,5,6

4 > 1,2,3,4,5,6

5 > 1,2,3,4,5,6

6 > 1,2,3,4,5,6

Boven staan alle routes uitgeschreven. Daaruit kan ook worden opgemaakt dat er 11 routes zijn waar minimaal een zes in voorkomt.

Ergun 18 september 2009

Beste mensen, heel leuk en aardig dat jullie deze kwestie proberen uit te vogelen maar het is onmogelijk dat je naar een aantal keren gegooid te hebben kunt zeggen wat je kans is, het is ten slotte een dobbelsteen je kans blijft 1 op 6 en dat geld na elk worp!

Hennioui 10 januari 2010

Inderdaad, Je kans blijft 1 op 6. De rekening spreekt van mogelijheid. Hoeveel kans is er dat je weer een zelfde cijfer bekomt? Hoeveel kans is er dat je u gewilde cijfer bekomt? Kans is 1op6, maar mogelijkheid ( dat puur hypothetisch is) veranderd.

Jeroen 14 mei 2010

Een hoop elkaar bestrijdende verhalen, maar kan iemand het in het kort zeggen? ;-)

Peter 26 maart 2013

Aangezien deze site nog veel bezocht schijnt te worden nog een goed antwoord:

De `verwachtingswaarde' is een deftig woord voor `gemiddelde uitkomst als je het experiment oneindig vaak zou uitvoeren'.

Met deze definitie is de verwachtingswaarde van het gooien van een eerlijke zeszijdige dobbelsteen inderdaad 3.5.

Dit lijkt misschien vreemd, maar stel dat je zoveel euro krijgt als de ogen die je gooit. Dan krijg je 1/6 van de keren 1 euro, 1/6 van de keren 2 euro, ..., 1/6 van de keren 6 euro. Je verwachte winst is dus 1/6*(1+2+3+4+5+6)=3.5 euro. Met behulp van de verwachtingswaarde kun je dus bijvoorbeeld je verwachte winst bij een spel/loterij berekenen.

Jacqueline 7 november 2013

Iedere keer dat je de dobbelsteen gooit, heb je dezelfde kansen. Stel de eerste keer gooi je een 6. Dit is een kans van 1/6. Stel dat je de tweede keer weer een 6 hebt gegooid dan is je kans (1/6) . (1/6) = 1/36

jeroen 19 november 2013

Wat is de kans dat je een 6 gooit met 3 x gooien ? stel je mag 3 x gooien, dan zegt de meerderheid dat de kans dat je een 6 gooit 50% is. Fout !!

stel ik gooi 3 x achter elkaar en herhaal dit 2000 x. dus in totaal 6000 worpen. Voor de duidelijkheid dus, ik heb nu 2000 "groepjes van 3 worpen". IEDEREEN is het er toch mee eens dat je dan op basis van de wet van de grote getallen 1000x een 1 gooit, 1000x een 2, en zo verder, tot 1000x een 6 bij 6000 worpen.

En nu komt het, want dan gaan we dus kijken naar de groepjes van 3 worpen. je zou dan verwachten dat als we 2 groepjes bij elkaar pakken (dus 6 worpen), dat er dan overal per 2 groepjes een 6 inzit. Je heb dus 2000 groepjes van 3 worpen, en in precies 1000 groepjes van 3 worpen zit een 6.

Dat zou betekenen een kans van 1 op 2 (50%) dat er in een groepje van 3 worpen een 6 zit. Dat is natuurlijk volslagen onzin. Want er zullen ook groepjes van 3 worpen zijn, waar 2x een 6 inzit, of zelfs 3x een 6. Kijken wie dit nog snapt, want als er dus groepjes zijn met meerdere zessen, zullen er dus minder dan 1000 groepjes zijn waar 1 of meerdere zessen inzitten. want immers je moet het geheel onder ogen blijven zien, en dat is, je hebt 6000x gegooid, en 1000x een 6 gegooid. maar die zessen zitten verdeeld in de verschillende groepjes van 3 worpen. maar er zullen minder dan 1000 groepjes (van 3 worpen) zijn waar 1 of meerdere zessen in zitten. dus is de kans dat je een 6 gooit met 3 dobbelstenen minder dan 50% !!!

Ik wil wel met iedereen gaan dobbelen voor geld. Dan mag de andere persoon 3 x gooien, zit daar een 6 bij, dan krijgt de andere 50 euro van mij, zit daar geen 6 bij, krijg ik 50 euro.

maar gooit de ander 2 zessen, dan krijgt ie geen 100 euro, maar 50 euro. weddenschap was immers, een 6 gooien 50 euro, en niet voor elke 6 50 euro. dan zou het idd gelijke weddenschap zijn. dat is de valkuil, soms zitten de zessen dichtbij elkaar, en daardoor soms ook verder uit mekaar, waardoor de kans bij 3 worpen op 1 of meerdere zessen niet 50% is.

Sam heeft volledig gelijk, die heeft de berekening goed

Roderick 6 maart 2014

Het is niet zo heel moeilijk.

Een dobbelsteen heeft geen geheugen. Dit betekend dat de vorige rol geen invloed heeft op de volgende. Dus, je rolt een dobbelsteen, de kans op een bepaald nummer is 1/6. Immers, ieder nummer komt even vaak voor.

Als je vervolgens de dobbelsteen oppakt en een tweede keer rolt, dan is de kans op een bepaald nummer weer 1/6. De dobbelsteen weet immers niet wat hij de vorige keer gerold heeft.

Dit is altijd het geval. Als je 100 keer achter elkaar een 6 hebt gegooid, dan is als je keer nummer 101 de dobbelsteen gooit de kans op een 6 weer 1/6 (er vanuit gaande dat je een goeie dobbelsteen hebt natuurlijk).

Ik weet niet helemaal wat Hennioui bedoeld met de mogelijkheid die veranderd. Voor zover ik weet bestaat dit niet binnen de statistiek.

Let wel, vooraf is de kans op 100 keer een 6 achter elkaar uiteraard heel anders. Maar als de eerste 100 keer gegooid is, is de kans op ieder nummer gewoon 1/6

Michiel 20 juni 2014

Om terug te komen op de oorspronkelijke vraag: de verwachtingswaarde het gemiddelde dat we zouden verwachten na een oneindig aantal 'experimenten' of een oneindig grote steekproef. Bij een dobbelsteen is deze inderdaad 3.5. Het is vrij duidelijk dat als men 1000 keer met een dobbelsteen werpt, de gemiddelde worp naar 3.5 toe streeft.

Om de kans van 1 zes na 2 keer werpen te bepalen: Aangezien de kans onafhankelijk is van het voorgaande (het is niet zo dat als een zes geworpen is, de volgende worp geen zes kan zijn) en er twee mogelijkheden zijn: zes of geen zes, gebruiken we een bernouilli kansverdeling.

De kans op 1 zes na 2 keer rollen wordt dan: (Binomiaalcoefficient van 2 op 1) * (1/6)^1 * (5/6)^1 = 2 * 1/6 * 5/6 = 10^36 of ongeveer 28%.

De bernouilli kansverdeling gaat als volgt: de kans dat een gebeurtenis 'k' aantal keer optreedt:

[n k]* p^k * (1-p)^(n-k)

Hierin is [n k] de binomiaalcoefficient van n op k = n! / ( k! * (n-k)! ) p = de kans de gebeurtenis n = het totaal aantal bernouilli-experimenten ( het aantal worpen met de dobbelsteen)

Joris 30 januari 2015

De verwachtingswaarde is de verwachte opbrengst van een gok: Als je honderd euro kan winnen met een kans van 1 op 5 (20 procent), dan is de verwachtingswaarde 100 * 0,20 = 20 euro.

Prof. Professor 9 juni 2015

Haha ik moest lachen om de berekening van SAM, zag er mooi uit, mijn complimenten. Helaas is het zo dat je de dobbelsteen als een systeem kan zien dat zich na elke worp reset, ofwel: Het moment dat je de steen pakt om zo opnieuw te gooien probeert men het nog een keer. Het opnieuw inzetten op de zes met een kans van 1/6. Dit is heel eenvoudig uit te leggen aan de hand van casinostrategie. Het casino zou immers bomvol staan als mensen inzetten bij bijvoorbeeld roulette. Valt er 36 maal geen 00 dan kan je volgens de theorie van SAM er wel van uit gaan dan volgens kansberekening er een heel hoge kans is dat deze dit maal wel gaat vallen. Helaas blijft de kans dat u wat wint altijd even groot namelijk bij inzet op rood of zwart 18/37. Net geen 1/2 door de 00. Dit is uiteraard de grote truc in het casino.

Plaats een reactie