Wiskunde 123

Zoeken


Opties

  • Printvriendelijke versie afdrukken
  • Per e-mail verzenden

Derdegraads vergelijking oplossen voor PO

Onderzoek welke formule er is voor de vergelijking $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ Bereken hiermee een oplossing van de vergelijking $x^3 - 3x^2 - 2x +10 = 0$ in 2 decimalen. Laat je berekening zeer gedetailleerd zien.

Ik snap niet precies welke formule ik nou moet gebruiken, omdat ik nog nooit wat heb geleerd over derdegraads vergelijkingen, en dus ook geen idee heb wat ik moet doen..

Antwoord

Richard Both 2 mei 2009

We hebben te maken met een 3e-graadsvergelijking die gelijk is aan 0. We willen dus alle punten weten waar de functie $x^3 + ax^2 + bx + c$ de Y-as snijdt of raakt. Voor tweedegraads vergelijking geldt dat er maximaal 2 oplossingen zijn, voor derdegraadsvergelijkingen zullen er maximaal 3 zijn.

Het makkelijkste geval heb je wanneer je al 1 oplossing van de vergelijking weet. Stel je weet dat een bepaald getal 'k' een oplossing is van de vergelijking, dan kan je de andere twee oplossingen vinden door de vergelijking $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ te herschrijven naar $(x - k)(x^2 + dx + e) = 0$. Dit is de factorstelling. Nu heb je nog maar een tweedegraads vergelijking over.

Weet je de eerste oplossing k niet? Dan zal je de formule van Cardano moeten gebruiken om de oplossing te vinden (zie hier op Wikipedia). Een bewijs hiervoor is op dezelfde manier af te leiden als het bewijs voor de ABC-formule. Je hebt er een paar trucjes voor nodig die je op internet kunt opzoeken en staan beschreven in het werk "Ars Magna" van Cardano.

Reacties

Dolo face,.. 5 juni 2009

Zou je dit in een andere manier uit kunnen leggen... het is nog steeds niet duidelijk

Loetar 24 oktober 2014

Plaats een reactie